不等式基础
这门课程开设于2022年度的中国数学奥林匹克之前, 面向那些计划冲击冬令营资格的中学生. 我们采用中文授课. 通过学习对几何不等式和代数不等式的基本处理方法, 学生将会掌握和巩固解决代数问题的一些技巧. 因此, 这门课程更适合那些有意强化代数基本功的同学学习.
- 开课形式: Classin线上; 只对通过特定渠道注册的同学开放.
- 参考教材: 以Hojoo Lee的2006年课程讲义为主.
在课程结束后, 我会逐步整理手写讲稿并将其上传到这个网页. 课程中包含许多习题, 它们将被专门整理成习题集. 但我出于个人时间和精力的限制, 可能不会提供这些习题的答案. 如果未来还有机会, 我可能会重新整理这些稿件为TeX版本.
手写讲稿
第一部分 几何不等式
- (11/28) Ravi代换.
这是一种处理三角形三边边长条件的重要手段, 我们还会介绍一个三角形三边之积的重要下界 (Schur), 而该不等式等价于三角形外接圆半径至少是内切圆半径两倍这一事实. 此后会引入一些更加复杂的不等式, 它们对于锻炼代数技巧十分有益.
- (11/28) 三角化方法.
本节包含重要的几何不等式Erdös-Mordell定理, 及其证明中的一个将轮换和中的多元根式写成三角函数二平方和的技巧.
- (11/28) 复数的应用.
由于复平面上的每一个复数都可以与二维欧式平面的每一个点作一一对应, 某些几何不等式的本质可以体现为复平面上的三角不等式. 我们以托勒密定理为例展开一些简单的介绍.
第二部分 四种处理代数不等式的技术
- (11/29) 三角换元.
本节介绍三种三角代换的基本模型及其在实际应用中的变种. 我们会指出: 许多不等式本质上来自于Ravi代换中关于三角形三边之积的Schur不等式, 而这进一步等价于三角形中三个角余弦值之和不超过3/2. 上述不等式比cos(x)在四分之一周期上的凹性更强.
- (11/29) 代数换元.
代数换元的思路在于消解原式中难以直接计算的部分, 例如分母和根式. 某些隐含的凸性和齐次形式可以通过代数换元体现出来. 本节还引进了重要原型Nesbitt不等式.
- (11/30) 导数的应用.
本节浅尝辄止地介绍在多元不等式证明中进行暴力运算的基础. 主要思路在于先将不等式整理成齐次或轮换的形式, 再转化为一元函数求导.
- (11/30) 构造上下界 (以及文末两道补充习题的参考解答).
该方法有助于将轮换式的常数上下界表示为另一个轮换和, 它往往蕴含着分母的归一化和齐次化, 以及对根号的处理等复杂代数技巧. 这类方法构造困难, 但一旦构造成功, 就会成为证明中的神来之笔. 该方法的使用者时常会成为国际数学奥林匹克特别奖的颁发对象.
第三部分 齐次化和正规化
- (12/3) 齐次化.
给定非齐次对称不等式及某些约束条件, 可以构造齐次对称不等式. 对于齐次式, 我们可以方便地代入如x+y+z=1等齐次条件. 此外, 我们还介绍被称为bunching技巧的二元Muirhead定理. 对于齐次对称式, 可以直接使用Schur不等式和Muirhead定理. 因此, 本节是后两节的预备知识.
- (12/3) Schur不等式 (附四道补充习题及其参考解答).
Schur不等式描述了一大类齐次对称多项式的正性质. 我们介绍它在最低次数的重要推论, 并且在习题中进行简单应用. 下一节将介绍的处理代数不等式的标准流程, 本节作为其预备知识而出现.
- (12/4) Muirhead定理.
Muirhead定理本质上是一种排序不等式, 它精确地描述了“在各变量上分散程度较小的对称和具有较大的值”这一代数现象. 在实际应用中, 许多代数不等式可以在齐次化后通过简单粗暴的方式展开, 并结合Muirhead定理和Schur不等式得到证明, 于是我们得到一种稳定而流程化地处理不等式的方法. 陈计在命题人讲座系列《代数不等式》一书中关于这类方法提供了海量范例.
- (12/4) 正则化.
本节内容依托齐次化作为基础, 对齐次轮换式引入一系列常数化条件 (例如: x+y+z=1, abc=1, uv+vw+wu=1, c=1, etc.) 来减少变量个数或调整原式次数. 这种手段十分重要且常见.
- (12/5) Cauchy-Schwarz不等式和Hölder不等式 (附七道补充习题).
Cauchy-Schwarz不等式本质上来源于正则化和均值不等式, 我们在本节中还会介绍加权推广版的均值不等式, 并且将Hölder不等式解释为加权推广版的Cauchy-Schwarz不等式.
第四部分 凸性
- (12/5) Jensen不等式.
本节叙述并证明此前已经使用多次的Jensen不等式以及其加权推广版本. 凸性是分析中的重要概念, 我们的主定理为一元实函数的凸性给出了多角度的描述.
- (12/6) 幂平均.
本节说明一系列正实数的幂平均函数是单调递增连续函数, 并且通过不同的证明过程说明这本质上来源于xlnx或x^r等函数的凸性. 可见一元函数的凸性是极为重要的分析性质. 此外, 均值不等式是幂平均函数单调性的推论.
- (12/6) 比较定理.
本节中的主定理实际上推广了前一部分中的Muirhead定理及bunching性质, 在代数的背景下, 一个重要推论便是排序不等式.
- (12/6) 切线放缩法.
某函数切线与函数图像的相对位置关系也构成凹凸性的一种描述, 特别地, 可以用切线放缩引进加权Jensen不等式. 对于多元函数不等式, 我们可以考虑齐次化和正则化, 将其化为一元函数轮换或对称和, 然后利用取等条件处的切线来放缩.
习题集
- 以下是专门为数学奥林匹克竞赛设计的习题集, 暂无解答. 它们来自各国的集训队选拔考试或国际数学奥林匹克真题及备选题. 也可以下载合订本 (共63题).
- 习题集一 (9选4, 11/28),
- 习题集二 (9选4, 11/29),
- 习题集三 (9选4, 11/30),
- 习题集四 (9选4, 12/3),
- 习题集五 (9选4, 12/4),
- 习题集六 (9选4, 12/5),
- 习题集七 (9选4, 12/6).
- 此处是美国普特南(Putnam)竞赛中有关不等式的50道习题, 暂无解答. 它们当中某一些可能包含高等数学背景, 例如会用到微积分或线性代数的知识. 这个习题集更适合低年级本科生或有意先修大学课程的高中生使用. 并非所有的题目都可以通过本课程介绍的技巧和知识解答.
说明: 以上所有习题的出处都已经被清楚地标明, 这意味着即使我没有撰写解答, 你也可以尝试通过英文搜索引擎在各类论坛找到这些题目的非中文版解答 (但这样做可能会耗费大量时间, 可能是不明智的).